Cours Intensive n. 2
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| Résumé. |
| Il s'agit de un cours de base
revisitant certaines notions élémentaires
d’algèbre multilinéaire (telles que : algèbres
tensorielles, algèbres extérieures, théorie des
déterminants) afin d’étudier la géométrie
élémentaire des variétés grassmanniennes
paramétrisant des sous-espaces vectoriels de
dimension fixé dans un espace vectoriel ambiant,
éventuellement de dimension infinie. Ce
cours sera de nature interdisciplinaire. Les
grassmanniennes sont des variétés algébriques
particulières et simples qui permettent néanmoins
de découvrir les prototypes de nombreux concepts
importants, encore largement étudiés, comme les
espaces de modules, les espaces classificateurs et
la théorie des intersections. |
Programme.
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- Algèbre linéaire élémentaire d’un point de
vue avancé: modules sur un anneau, algèbres,
modules libres. Sous-modules. Idéaux.
- Espaces vectoriels comme modules sur un
corps. Sous-espaces vectoriels, bases,
dimension, homomorphismes. L’espace vectoriel
dual.
- Construction de l’espace projectif réel et
complexe. La sphère de Riemann.
- Définition ensembliste de la variété de
Grassmann complexe, sa structure de variété
algébrique et son plongement de Plücker dans
l’espace projectif.
- Suites tautologiques de fibrés vectoriels
sur la Grassmannienne. La Grassmannienne comme
premier exemple d’espace de modules fins.
- Théorie des intersections de la
Grassmannienne comme généralisation du
théorème de Bézout;
- Séance de problèmes ouverts.
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| Prérequis.
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Notions de base de
algèbre linéaire et calcul différentiel et
intégral 1 et 2. Principes d'algèbre abstraite.
Définition d'un groupe, d'un anneau, d'un module
sur un anneau R, d'une algèbre sur un anneau R,
d'une dérivation d'une R-algèbre. Principes de
géométrie analytique (sous-variétés linéaires:
droites, plans, hyperplans…).
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Références.
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Des notes de cours seront
préparées au fur et à mesure de la prestation du
cours. Ce dernier constituera un sous-ensemble
du contenu des manuels.
- J. Harris, Algebraic Geometry, A
First Course, Springer GTM 133,
1992;
- L. Gatto, P. Salehyan, Hasse-Schmidt
Derivations on Grassmann Algebras,
Springer International, 2018;
- S. Amukugo, E. Lazarus, J. Lichela, G.
Marelli, M. Mugochi, The LMS-MARM Lectures
on the algebraic perspective of Linear ODE,
2025, forthcoming.
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