Cours
Intensive n. 1
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| Résumé. |
| L’objectif de ce cours est
d’offrir une présentation élémentaire et
fonctionnelle de la théorie des polynômes
symétriques à la lumière de nouvelles
méthodologies permettant une utilisation plus
flexible du formalisme et des applications à
l’algèbre multilinéaire, à la combinatoire, à
l’algèbre, à la théorie des représentations, à la
physique mathématique (correspondance de
Bose-Fermi et systèmes intégrables), à la
géométrie algébrique, en revisitant les
grassmanniens déjà abordés dans le Cours Intensif n. 1. |
Programme.
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- Action des groupes sur un ensemble, lieux
fixes, action du groupe symétrique sur les
polynômes
- Polynômes symétriques et espace vectoriel
engendré par les partitions;
- Polynômes symétriques et algèbres
extérieures;
- Limites projectives des polynômes
symétriques : les fonctions symétriques.
Notions de base des fonctions symétriques. La
base de Schur.
- Relations avec d’autres domaines des
mathématiques : équations différentielles
linéaires, représentation des algèbres de Lie
des endomorphismes, relations avec la physique
mathématique.
- Séance de problèmes ouverts.
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| Prérequis.
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| Notions de base de
algèbre linéaire et calcul différentiel et
intégral 1 et 2. Principes d'algèbre abstraite.
Définition d'un groupe, d'un anneau, d'un module
sur un anneau R, d'une algèbre sur un anneau R,
d'une dérivation d'une R-algèbre. Éléments
combinatoires; coefficients binomiaux, triangle de
Pascal. |
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| Références.
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Des notes de cours seront préparées
au fur et à mesure de la prestation du cours. Ce
dernier constituera un sous-ensemble du contenu
des manuels.
-
I.G. Macdonald, Symmetric
functions and Hall polynomials, Oxf.
Class. Texts Phys. Sci., The Clarendon
Press, Oxford University Press, New York,
2015;
-
H. S. Wilf, Generatingfunctionology,
A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2006;
-
S. Amukugo, E. Lazarus,
J. Lichela, G. Marelli, M. Mugochi, The
LMS-MARM Lectures on the algebraic
perspective of Linear ODE, 2025,
forthcoming.
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